Ma trận nghịch đảo là gì

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương thơm pháp Toán thù Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cấp n được Gọi là ma trận đơn vị trường hợp A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cấp n

Ta nhận ra ma trận bên trên là tồn tại. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện bên trên tất cả dạng sau:


*

Ma trận đơn vị chức năng cung cấp n

Dường như, ma trận đơn vị chức năng là nhất. Thật vậy, giả sử gồm hai ma trận đơn vị chức năng I với I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị yêu cầu I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị chức năng yêu cầu I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một ma trận vuông cung cấp n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu lâu dài một ma trận B vuông cấp cho n trên K sao cho: A.B = B.A = In. lúc kia, B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký kết hiệu A-1.Quý khách hàng đang xem: Ma trận nghịch đảo là gì

Nlỗi vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch hòn đảo là tốt nhất, vị đưa sử sống thọ ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận nghịch hòn đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch hòn đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, bây giờ, có khá nhiều giáo trình nước ngoài sẽ đề cùa tới định nghĩa khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Bạn đang xem: Ma trận nghịch đảo là gì

Thật vậy, mang lại A là ma trận cung cấp m x n bên trên trường số K. khi đó, ta bảo A là khả nghịch trái giả dụ mãi sau ma trận L cung cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải ví như trường thọ ma trận R cung cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và khi ấy, dĩ nhiên A khả nghịch giả dụ A khả nghịch trái và khả nghịch yêu cầu.

4. Ma trận đơn vị chức năng là khả nghịch, Ma trận ko ko khả nghịch.

5. Tập phù hợp những ma trận vuông cấp n trên K khả nghịch, được cam kết hiệu là GLn(K).

Xem thêm: Hướng Dẫn Cấu Hình Tắt Dhcp Để Làm Gì, Cần Giúp Đỡ Config Router Tplink Với Modem Wifi

1.4 Các ví dụ:

Xét những ma trận vuông thực, cấp cho 2 sau đây:


*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch cùng A là nghịch đảo của B; B là nghịch đảo của A

Ma trận C không khả nghịch vày với đa số ma trận vuông cấp 2 ta phần nhiều có:


*

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch với (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch với (AT)-1= (A-1)T

(Quý Khách hãy thừ chứng minh hiệu quả trên nhé)

3. Mối dục tình thân ma trận khả nghịch với ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cung cấp n bên trên K (n ≥ 2) được Điện thoại tư vấn là ma trận sơ cấp dòng (cột) nếu E thu được trường đoản cú ma trận đơn vị In bời đúng 1 phnghiền đổi khác sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp cho dòng tuyệt cột Hotline phổ biến là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp dòng (tốt cột) những khả nghịch với nghịch hòn đảo của này lại là một ma trận sơ cung cấp cái.

Ta rất có thể khám nghiệm thẳng hiệu quả bên trên bởi thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 loại của ma trận đơn vị cùng với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cấp dạng 1


*

Ma trận sơ cung cấp dạng 2


Ma trận sơ cung cấp dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp cho n trên K (n ≥ 2). Lúc đó, những xác minh sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận thấy trường đoản cú A vị một số trong những hữu hạn các phép chuyển đổi sơ cấp loại (cột)

3. A là tích của một số hữu hạn những ma trận sơ cấp

(Quý khách hàng đọc có thể xem minh chứng định lý này vào ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cung cấp n bên trên K (n ≥ 2). lúc kia, các khẳng định sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch Lúc còn chỉ Lúc dạng chính tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In nhận thấy trường đoản cú A vày một vài hữu hạn những phép biến hóa sơ cấp loại (cột); bên cạnh đó, bao gồm dãy các phnghiền biến hóa sơ cung cấp dòng (cột) đó sẽ đổi thay In thành nghịch hòn đảo của ma trận A.

4. Thuật toán Gausβ – Jordan search ma trận nghịch đảo bằng phép biến hóa sơ cấp:

Ta thực hiện thuật toán thù Gausβ – Jordan để search nghịch đảo (ví như có)của ma trận A vuông cấp n trên K. Thuật toán này được kiến tạo phụ thuộc vào tác dụng thứ 2 của hệ quả 3.4. Ta thực hiện công việc sau đây

Bước 1: lập ma trận n mặt hàng, 2n cột bằng phương pháp ghxay thêm ma trận đơn vị chức năng cấp cho n I vào bên phải ma trận A


Lập ma trận bỏ ra kân hận cung cấp n x 2n

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch cùng A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, vào quá trình biến hóa ví như A’ mở ra tối thiểu 1 loại ko thì chớp nhoáng Kết luận A ko khả nghịch (không nhất thiết phải chuyển A’ về dạng bao gồm tắc) cùng xong xuôi thuật toán.

ví dụ như minc họa: Sử dụng thuật tân oán Gausβ – Jordan để tìm kiếm ma trận nghịch hòn đảo của: