Tìm Phần Thực Phần Ảo Của Số Phức

Bởi
tienmadaichien.com
-

Số phức và những dạng toán về số phức là trong những nội dung mà nhiều các bạn cảm thấy chúng kha khá trừu tượng cùng khá nặng nề hiểu, một phần nguyên nhân là chúng ta đã thừa quen cùng với số thực trong những năm học tập trước.

Bạn đang xem: Tìm phần thực phần ảo của số phức


Vì vậy, ở bài viết này tienmadaichien.com sẽ hệ thống lại các dạng toán về số phức mặt khác hướng dẫn phương pháp giải các dạng bài xích tập này. Trước lúc bắt tay vào giải các dạng bài xích tập số phức, chúng ta cũng đề xuất nhớ những nội dung về triết lý số phức.

I. Kim chỉ nan về Số phức

1. Số phức là gì?

• Định nghĩa số phức

- Tập phù hợp số phức: 

*

- Số phức (dạng đại số):

 (, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị chức năng ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bằng nhau: 

*
, 
*

2. Màn biểu diễn hình học của số phức

- Số phức: , () được biểu diễn bởi điểm M(a,b) xuất xắc bởi 

*
 trong phương diện phẳng Oxy (mp phức).
*

3. Phép cộng, trừ số phức

- cho 2 số phức: , khi đó:

♦

*
*

♦

*
*

- Số đối của:  là 

*

- Nếu 

*
 biểu diễn z, 
*
 biểu diễn z" thì 
*
 biểu diễn 
*
 và 
*
 biểu diễn 
*
.

4. Phép nhân 2 số phức

- mang lại 2 số phức: , lúc đó:

♦

*
 
*

♦

*

5. Số phức liên hợp

- Số phức phối hợp của số phức 

*
 là 
*

♦ 

*
; 
*
; 
*
; 
*
; 
*

♦ z là số thực ⇔

*

♦ z là số thuần ảo: 

*

6. Phép chia số phức khác 0

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

7. Mô-đun của số phức

- mang đến số phức: , thì:

♦

*

♦ 

*
; 
*

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ 

*
 là căn bậc 2 của số phức 
*
 
*

♦ w = 0 gồm đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 tất cả đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 

*

♦ 2 căn bậc 2 của a 9. Phương trình bậc 2 của số phức

- mang lại phương trình bậc 2 số phức tất cả dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là các số phức mang đến trước, A≠0).

- lúc đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) bao gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

*

* Chú ý: Nếu 

*
 là 1 nghiệm của (*) thì 
*
 cũng là một nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

*

• φ là 1 trong những acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• 

*
,
*

11. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác

- mang đến z = r(cosφ + isinφ) và z" = r"(cosφ" + isinφ")

• 

*

•

*

12. Bí quyết Moivre (Moa-vrơ).

•

*
, 
*

• 

*

13. Căn bậc 2 của số phức bên dưới dạng lượng giác

• mang lại z = r(cosφ + isinφ), r > 0 tất cả căn bậc 2 là:

 

*
 và 
*
*

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 tất cả n căn bậc n là:

 

*
, 
*

II. Các dạng toán về Số phức và giải pháp giải

• Dạng 1: các phép tính về số phức

* phương thức giải: Vận dụng những công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ quá và tính chất phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi thống kê giám sát các số thức có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng tuyệt hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: cho số phức 

*
 Tính những số phức sau: 
*

° Lời giải:

+) Ta có: 

*

 +) Ta có: 

*
 
*

 

*
*

*
 
*

+) Ta có: 1 + z + z2 

*

* Tương tự: Cho số phức 

*
, hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có:

*

*
*

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

*

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

*
*

b) M là tổng của 10 số hạng đầu tiên của 1 cấp cho số nhân cùng với số hạng đầu tiên là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

 

*
 
*

c)

*
 
*

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả 

*
,
*
 tính 
*

° Lời giải:

- Đặt 

*

- từ bỏ giải thiết ta có: 

*

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

• Dạng 2: Tìm số phức thoả điều kiện cho trước (giải phương trình số phức)

* phương pháp giải: Vận dụng các đặc điểm của số phức, các phép chuyển đổi để giải quyết và xử lý bài toán.

° lấy ví dụ 1: tìm kiếm số phức z thoả mãn

a)

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
 
*
*

b) 

*
*
 (*)

 mà 

*

 thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức buộc phải tìm là 1 + i và 1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) 

*
, với z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

- Ta có: 

*

+) TH1:

*

+) TH2: 

*

 

*

• Dạng 3: xác minh phần thực phần ảo, kiếm tìm đối số, nghịch hòn đảo module, liên hợp của số phức và màn trình diễn hình học của số phức

* phương thức giải: Dạng này chia làm nhiều loại bài bác toán liên quan tới đặc điểm của số phức.

♦ loại 1: tìm kiếm phần thực phần ảo của số phức

- bí quyết giải: biến hóa số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức sẽ cho gồm phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)  

*
 
*

 

*
 
*

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức vẫn cho có phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức đang cho tất cả phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ các loại 2: trình diễn hình học của số phức

- biện pháp giải: sử dụng điểm M(a;b) trình diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong phương diện phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được trình diễn bởi điểm nào trong số điểm A, B, C, D?

*
° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là biểu diễn hình học tập của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức nào có biểu diễn hình học là toạ độ điểm M như hình sau:

*
° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là trình diễn hình học tập của số phức z=-2+i

♦ nhiều loại 3: Tính Module của số phức

- giải pháp giải: biến hóa số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

° Ví dụ 1: kiếm tìm mô-đun của số phức sau: 

° Lời giải:

- bao gồm

*
 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒  

*

° Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn

*
, tìm mô-đun của số phức 
*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 

*

♦ nhiều loại 4: kiếm tìm số đối của số phức

- cách giải: chuyển đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

b) 

° Lời giải: 

a) 

*

b) 

*
 
*

♦ một số loại 5: kiếm tìm số phức liên hợp của số phức z

- phương pháp giải: đổi khác số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức liên hợp của z là 

*

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

*

° Lời giải: 

- Ta có: 

*
 
*

⇒ Số phức liên hợp của z là: 

*

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z cùng giải phương trình 

*
.

Xem thêm: Đầu Số 0124 Của Mạng Nào ? Tra Cứu Đầu Số 0124 Là Mạng Gì

° Lời giải: 

- Ta có 

*
, 
*

- khi đó: 

*

- Giải hệ này ta được các nghiệm

*

♦ nhiều loại 6: search số phức nghịch đảo của số phức

- phương pháp giải: áp dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm nghịch hòn đảo của số phức sau:

a)

b)  

° Lời giải: 

a) 

- Ta có:

*
, 
*

*

b) 

- Ta có:

*
,
*

*

♦ Loại 7: Tìm các số thực khi 2 số phức bởi nhau.

- bí quyết giải: sử dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x và y làm thế nào cho z = x + yi thỏa mãn nhu cầu z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

*

*

- Giải phương trình trên bằng phương pháp đặt y = tx (x≠0) ta được 

*

⇒ z = 3+ i

• Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp các điểm) thoả mãn điều kiện cho trước.

* phương thức giải:

♦ nhiều loại 1: Số phức z chấp thuận về độ dài (module) lúc đó ta sử dụng công thức 

♦ nhiều loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), lúc ấy ta áp dụng kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a 0 với b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập hợp điểm M màn biểu diễn số phức z thoả

a) 

*
 có phần thực = 3

b) 

*
 là số thực

c) 

*

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 

*

 

*

 Với 

*

- Theo bài bác ra,

 

*

- với x ≠ 0 cùng y≠ 2 ta có:

*

⇒ Vậy tập thích hợp điểm M là đường tròn tâm 

*
 bán kính 
*

b) gọi N là vấn đề biểu diễn số phức 

*

*
 là số thực ⇔ 
*
 song tuy vậy với Ox

- Vậy quỹ tích của M là mặt đường thẳng qua N và song song cùng với Ox, chính là đường trực tiếp y = -3.

c) điện thoại tư vấn I là điểm biểu diễn của số phức 

*

- khi đó: 

*

- Vậy quỹ tích của M là mặt đường tròn trọng tâm I(1;-2) bán kính R = 1.

• Dạng 5: Chứng minh các biểu thức về số phức

* phương thức giải: Vận dụng những phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện . Bệnh minh 

*

° Lời giải: 

- Ta có:  

*

 hay 

*
(1)

- Đặt z=x+yi, cùng với x,y ∈ R, tự (1) ta có:

 

*
 
*

*
 
*

*
*

*
 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 và z2 , chứng minh rằng:

a) 

*

b) 

*

° Lời giải: 

a) Ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

*

 

*

 

*

  (1)

- phương diện khác:

 

*
 
*

Vì 

*
 nên 
*
(2)

- từ bỏ (1) cùng (2) có VT=VP (đpcm)

• Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức và phương trình bậc 2

* cách thức giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được điện thoại tư vấn là căn bậc 2 của số phức z nếu như w2 = z tốt (x + yi)2 = a + bi.

- giữ ý:

♦ khi b = 0 thì z = a, ta có 2 ngôi trường hợp đơn giản dễ dàng sạ:

 ◊ TH1: a > 0 ⇒ 

*

 ◊ TH1: a 2 = a + bi, tuyệt x2 - y2 + 2xyi = a + bi 

*
, giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với hệ số phức

- Là phương trình tất cả dạng: az2 + bz + c = 0, trong những số đó a, b, c là những số phức a≠0

- bí quyết giải: Xét biệt thức 

*
.

 » Nếu Δ=0 phương trình bao gồm nghiệp kép: 

*

 » Nếu Δ≠0 phương trình gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Định lý Vi-ét: gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 lúc đó, ta có: 

*
 
*

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

* Lời giải:

a) 

*

b) 

*

c) Gọi 

*
 là căn bậc 2 của số phức , ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*
 
*
 
*

 Vậy hệ pt trên có 2 nghiệm 

*
.

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, search m nhằm phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có  với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- gọi m=a+bi với a,b∈R.

- Theo bài bác toán, ta có:  

*

 Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên:

*
.

- Vậy ta bao gồm hệ: 

*

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau bên trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình tất cả 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: 

*
 
*
 
*

⇒ phương trình đã cho có 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

• Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* phương thức giải: Đặt ẩn phụ và đem đến phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: 

*

* Lời giải:

- thừa nhận thấy, z=0 chưa phải nghiệm của phương trình đề nghị chia 2 vế đến z2, ta được: 

*

*

*

- Đặt 

*
, thi (*) trở thành: 
*

*
 
*

*
 hoặc 
*

- với

*
 
*
 

*
 hoặc
*

- với

*
*

 

*
 hoặc 
*

- Vậy phương trình (*) có 4 nghiệm: 

*

° Ví dụ 2: Giải những phương trình phức sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, khi ấy pt trở thành: 

 

*

- Với 

*

- Với 

*

b) nhận ra z=0 chưa hẳn là nghiệm của phương trình đề nghị chia 2 vế pt cho z2 ta được:

 

*

*

*
 (*)

- Đặt 

*
, khi ấy pt (*) trở thành: 
*
 
*
 hoặc 
*

- Với 

*
 và 
*

- Với 

*
hoặc 
*

c) Đáp án: 

*

d) Đáp án: 

*
; 
*

• Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* phương pháp giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức căn nguyên cho một loạt công thức đặc trưng khác như phép luỹ thừa, khai số phận phức, công thức Euler.

- cách làm 1: 

*

- công thức 2: 

*

- Số phức z=a+bi ta có: 

*

*
,

với 

*
 và góc φ được gọi là argument của z ký hiệu là arg(z). Trái lại với phép luỹ thừa ta gồm phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết các số phức sau bên dưới dạng lượng giác, từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

a) 

*

b) 

*

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có:

 

*
 
*
; 
*

*

- Vậy 

*

*
 
*

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

 

*
*

*
*
*

c) Ta có:

 

*
 
*
*

*

*

 

*

 

*

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: 

*
, tính quý hiếm của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: 

*

- Lại có: 

*
 và 
*
 
*

⇒ Phương trình vẫn cho có 2 nghiệm: 

*

- phương diện khác 

*

*

*

*

° Ví dụ 3: Giải phương trình: 

*

* Lời giải:

- Đặt 

*
 thì 
*

- Phương trình đã đến trở thành: 

*

 

*
 (*)

- vị z=-1 không phải là nghiệm của phương trình yêu cầu nhân 2 vế (*) với (z+1) ta được:

*
 
*

*

- Nên 

*
 vì z≠-1 nên không nhận giá trị k=3.

- Vậy phương trình đang cho gồm nghiệm: 

*
 
*
 
*
 
*
 
*
 
*
 với 
*
.

• Dạng 9: Tìm rất trị của số phức

* cách thức giải: Vận dụng kiến thức tìm cực trị

° lấy ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn 

*
, tìm số phức z có modul nhỏ dại nhất.

* Lời giải:

- Đặt 

*
, lúc đó 
*

*
. Vì vậy các điểm M trình diễn số phức z thoả mãn việc nằm trên phố tròn trung tâm I(4;-3) bán kính R=3.

- Vậy |z| đạt giá trị nhỏ tuổi nhất khi còn chỉ khi điểm M∈(C) với gần O nhất. Khi ấy M là giao điểm của (C) và đường thẳng OI, cùng với M là giao điểm ngay sát O hơn và 

*